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动点轨迹方程求解的6种常见方法

时间:2018-01-07 16:15来源:未知 作者:admin 点击:
核心导读: 符合一定条件的动点所形成的图形,或者说,符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫做满足该条件的点的轨迹.轨迹,包含两个方面的问题:凡在轨迹上的点都符合给定的条件,这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条
核心导读:符合一定条件的动点所形成的图形,或者说,符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫做满足该条件的点的轨迹.轨迹,包含两个方面的问题:凡在轨迹上的点都符合给定的条件,这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件,也就是符合给定条件的点必在轨迹上,这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).轨迹方程就是与几何轨迹对应的代数描述。轨迹方程就是与几何轨迹对应的代数描述。符合一定条件的动点所形成的图形,或者说,符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫做满足该条件的点的轨迹。重点要掌握常用求轨迹方法,难点是轨迹的定型及其纯粹性和完备性的讨论。

  符合一定条件的动点所形成的图形,或者说,符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫做满足该条件的点的轨迹.

  轨迹,包含两个方面的问题:凡在轨迹上的点都符合给定的条件,这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件,也就是符合给定条件的点必在轨迹上,这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性). 中学资源网,完全免费的中学资源网站

  轨迹方程就是与几何轨迹对应的代数描述。轨迹方程就是与几何轨迹对应的代数描述。符合一定条件的动点所形成的图形,或者说,符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫做满足该条件的点的轨迹。重点要掌握常用求轨迹方法,难点是轨迹的定型及其纯粹性和完备性的讨论。

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动点轨迹方程求解的6种常见方法 zxzyw.cn

1动点轨迹方程解题步骤

  ⒈建系——建立适当的坐标系,设出动点M的坐标; 中学资源网,完全免费的中学资源网站

  ⒉设点——设轨迹上的任一点P(x,y),写出点P的集合;

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  ⒊列式——列出动点p所满足的关系式; 本文来自中学资源网

  ⒋代换——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X,Y的方程式,化简方程为最简形式;

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  ⒌证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。 中学资源网,完全免费的中学资源网站

2动点轨迹方程求解常见的6种方法

  动点轨迹方程的求解方法有多种,常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

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  ⒈直译求解法:直接将条件翻译成等式,整理化简后即得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断,但点P满足的等量关系易于建立,则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系,再用点P的坐标(x,y)表示该等量关系式,即可得到轨迹方程。

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  根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式,点到直线的距离公式,直线的斜率公式等,直接列出动点满足的等量关系式,从而求得轨迹方程。

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  ⒉定义求解法:如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲(高中学习网WwW.GaoZhong.CC/)线的定义,则可利用曲线的定义写出方程,这种求轨迹方程的方法叫做定义法。待定系数法:如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义,则可先设出轨迹方程,再根据已知条件,待定方程中的常数,即可得到轨迹方程,也有人将此方法称为定义法。

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  通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形,再求其轨迹方程,这种方法叫做定义法,运用定义法,求其轨迹,一要熟练掌握常用轨迹的定义,如线段的垂直平分线,圆、椭圆、双曲线、抛物线等,二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。

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  ⒊相关点求解法(代入法):用动点Q的坐标x,y表示相关点P的坐标x0、y0,然后代入点P的坐标(x0,y0)所满足的曲线方程,整理化简便得到动点Q轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的,而该点的运动规律已知,(该点坐标满足某已知曲线方程),则可以设出P(x,y),用(x,y)表示出相关点P'的坐标,然后把P'的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点P的轨迹方程。 zxzyw.cn

  ⒋参数求解法:当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时,往往先寻找x、y与某一变数t的关系,得再消去参变数t,得到方程,即为动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做参数法。如果采用直译法求轨迹方程难以奏效,则可寻求引发动点P运动的某个几何量t,以此量作为参变数,分别建立P点坐标x,y与该参数t的函数关系x=f(t),y=g(t),进而通过消参化为轨迹的普通方程F(x,y)=0。 本¥文¥来$自$中$学%资zxzyw.cn源网

  求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一,求符合某种条件的动点的轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,通过"坐标互化"将其转化为寻求变量间的关系。在确定了轨迹方程之后,有时题目会就方程中的参数进行讨论;参数取值的变化使方程表示不同的曲线;参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同;参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等。 本¥文¥来$自$中$学%资¥源¥网

  ⒌交轨求解法:在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题,这灯问题通常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标,再消去参数求得所求的轨迹方程(若能直接消去两方程的参数,也可直接消去参数得到轨迹方程),该法经常与参数法并用。将两动曲线方程中的参数消去,得到不含参数的方程,即为两动曲线交点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

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  若动点是两曲线的交点,可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程,也可以解方程组先求出交点的参数方程,再化为普通方程。

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  6.几何求解法:若所求的轨迹满足某些几何性质(如线段的垂直平分线,角平分线的性质等),可以用几何法,列出几何式,再代入点的坐标较简单。

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3求轨迹方程的注意事项

  1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中,发现动点P的运动规律,即P点满足的等量关系,因此要学会动中求静,变中求不变。

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  2.轨迹方程既可用普通方程表示,又可用参数方程来表示,若要判断轨迹方程表示何种曲线,则往往需将参数方程化为普通方程。

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  3. 求出轨(高中学习网wWw.GAoZhOng.Cc)迹方程后,应注意检验其是否符合题意,既要检验是否增解,(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上),又要检验是否丢解。(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示),出现增解则要舍去,出现丢解,则需补充。检验方法:研究运动中的特殊情形或极端情形。 copyright zxzyw.cn

4总结归纳

  1.要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件,也就是曲线上点的坐标的取值范围.由曲线和方程的概念可知,在求曲线方程时一定要注意它的"完备性"和"纯粹性",即轨迹若是曲线的一部分,应对方程注明的取值范围,或同时注明的取值范围。 本¥文¥来$自$中$学%资¥源¥网

  2."轨迹"与"轨迹方程"既有区别又有联系,求"轨迹"时首先要求出"轨迹方程",然后再说明方程的轨迹图形,最后"补漏"和"去掉增多"的点,若轨迹有不同的情况,应分别讨论,以保证它的完整性。

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